Início
John Nash, o matemático ganhador do prêmio Nobel de Economia de 1994 e que inspirou o filme "Uma Mente Brilhante" ganhador de 04 oscar, faleceu em 23 de Maio de 2015 aos 86 anos junto com sua esposa em um acidente de taxi. Nash ficou conhecido pela Teoria do equilíbrio de Nash.
O equilíbrio de Nash representa uma situação em que, em um jogo envolvendo dois ou mais jogadores, nenhum jogador tem a ganhar mudando sua estratégia unilateralmente.
Para melhor compreender esta definição, suponha que há um jogo com n participantes. No decorrer deste jogo, cada um dos n participantes seleciona sua melhor estratégia, ou seja, aquela que lhe traz o maior benefício. Então, se cada jogador chegar à conclusão que ele não tem como melhorar sua estratégia dadas as estratégias escolhidas pelos seus n-1 adversários (estratégias dos adversários não podem ser alteradas), então as estratégias escolhidas pelos participantes deste jogo definem um "equilíbrio de Nash".
Definição matemática:
Deixe (S, f) ser um jogo com n participantes, onde Si é o conjunto de estratégias possíveis para o participante i, S=S1 X S2 … X Sn é o conjunto de estratégias que especificam todas as ações em um jogo (somente uma estratégia por participante) e f=(f1(x), …, fn(x)) é a função de payoff. Deixe x_{-i} ser o conjunto de estratégias de todos os jogadores com exceção do jogador i. Quando cada jogador i \in {1, …, n} seleciona sua estratégia xi resultando no conjunto de estratégias x = (x1, …, xn) então o jogador i obtém o payoff fi(x). Note que o payoff depende da estratégia selecionada pelo jogador i e também pelas estratégias escolhidas pelos seus adversários. Um conjunto de estratégias x* \in S é um equilíbrio de Nash caso nenhuma alteração unilateral da estratégia é rentável para este jogador, ou seja
\Para todo i,x_i\in S_i, x_i \neq x^*_{i} : f_i(x^*_{i}, x^*_{-i}) \geq f_i(x_{i},x^*_{-i}).
Barganha:
O Problema da Barganha ou também conhecido Problema da Negociação é uma teoria de John Forbes Nash Jr., vencedor do Prémio de Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel, publicada em 1950 na revista The Econometric Society.
Nash distingue dois tipos de jogos: os cooperativos e os não cooperativos. Os jogos cooperativos são aqueles em que os agentes comunicam entre si com vista a encontrarem uma solução. Os não cooperativos são aqueles em que os agentes não comunicam entre si de nenhuma forma. Cada um toma uma decisão sem conhecer a decisão do seu adversário. O jogo não cooperativo mais conhecido é o do dilema do prisioneiro. Através deste jogo, podemos facilmente entender o conceito de "equilíbrio de Nash".
O problema da barganha ou da negociação resume-se na seguinte ideia: existe fundamento para uma negociação quando pelo menos dois agentes têm a possibilidade de aumentar o seu estado de satisfação caso cheguem a um acordo entre eles. Por exemplo, suponha-se que existem 100 dólares para repartir entre duas pessoas, que não têm qualquer tipo de empatia entre si, sentido de justiça ou de equidade. Qualquer um dos agentes tem incentivo a solicitar o maior valor possível. Ambos poderão fazer propostas de divisão dos 100 dólares. No entanto, enquanto ambos os agentes não chegarem a um acordo, nenhum deles recebe nada.
Nash faz uma formulação matemática deste problema, que ignora quaisquer efeitos casuísticos do resultado da negociação. À partida poderíamos argumentar que qualquer solução que atribuísse a um agente mais do que zero euros e menos do que 100 era uma solução deste jogo, pois ambos ficariam numa melhor situação do que aquela em que se encontravam antes de chegar ao acordo. No entanto, Nash formula um conceito de solução diferente. O modelo de negociação de Nash assenta sob o pressuposto de um grau muito elevado de racionalidade dos dois agentes e na ideia que os agentes tentarão encontrar uma solução que satisfaça ambas as partes, de modo a que as negociações não continuem infinitamente.
De modo a encontrar uma única solução, Nash formula o seu modelo de negociação com base em quatro axiomas. Seja N = {1,2}, os agentes envolvidos na negociação, S ⊂ RN o conjunto de todos os pares possíveis de utilidade esperada, ξ = (ξ1, ξ2) ∈ S os níveis de utilidade obtidos por cada um dos agentes se estes não chegarem a um acordo. Nash define um problema de negociação como um conjunto qualquer (S, ξ) onde S é compacto (ou seja, pode ser limitado por um quadrado suficientemente grande à volta de S) e convexo (qualquer ponto entre uma linha reta que liga dois pontos do conjunto S é um ponto do conjunto S) e ∃ (U1, U2) ∈ S tal que U1 > ξ1 e U2 > ξ2 . B é definido como o conjunto de todos os problemas de negociação. Uma solução do jogo de negociação é uma função f: B → RN tal que f(S, ξ) ∈ S para cada (S, ξ).
Os axiomas nos quais Nash formaliza o problema da negociação são os seguintes:
1. Axioma da Utilidade Esperada (invariância sob transformações afins ): ∀ (S, ξ), ∀ (S’, ξ’), ai>0
S'={s' |s' i=ai.si+bi ∀ i∈ N} ⋀ ξ'i=ai.ξi+bi ∀i∈ N ⇒ fi(S’, ξ’)=ai fi (S,ξ)+bi, ∀i∈N
Este axioma reflete a independência das escalas com que os agentes medem os seus níveis de utilidade. Significa isto que, num jogo de negociação, os agentes não comparam níveis de utilidade igualando-as no sentido de obter um “acordo justo”, mas pelo contrário, a solução do jogo de negociação deve ser independente de qualquer escala usada.
2. Simetria: Seja (S, ξ) um conjunto simétrico: ξ1 = ξ2 e [(U1,U2) ∈ S se e só se (U2,U1) ∈ S]. Então, f1(S, ξ) = f2(S, ξ). Este axioma justifica a inclusão de todos os parâmetros tidos como relevantes para a negociação. Se invertermos os eixos nos quais representamos S, a solução deverá ser o par (U2,U1), ou seja, uma solução equivalente à solução original.
3. Independência de alternativas irrelevantes: se T ⊂ S e f(S, ξ) ∈ T, então f(T, ξ) = f(S,d). O axioma da independência de alternativas irrelevantes indica que a solução não deve ser afetada pela escolha de alternativas irrelevantes.
4. Pareto-Otimização: Considerando dois pontos x, y ∈ S, se y > x, então f(S, ξ) ≠ x. Na solução, nenhum dos agentes pode aumentar o seu nível de utilidade sem que o nível de utilidade do seu adversário diminua.
Com base nestes quatro axiomas, a única solução f para esta formulação do jogo de negociação é o par (U1,U2), que maximiza o produto W = (x1 - ξ1).(x2 – ξ2),ou seja, f(S, ξ) = arg.max(W)1
A solução de Nash diz que n divisão de $100 ficaria $50 e $50 para cada, desde que a utilidade seja tida como linear,matematicamente a solução da negociação é incontestavelmente correta, porém considera-se a total racionalidade das partes e informação completa e pleno conhecimento comum das preferências por parte dos jogadores. Barganhas com informações incompletas permanecem um desafio para os teóricos.
Ref. Teoria dos Jogos de Negociação-Manochio Laurie Amanda-[http://dcm.ffclrp.usp.br/man/upload/Manocchio_AL.pdf]
O equilíbrio de Nash representa uma situação em que, em um jogo envolvendo dois ou mais jogadores, nenhum jogador tem a ganhar mudando sua estratégia unilateralmente.
Para melhor compreender esta definição, suponha que há um jogo com n participantes. No decorrer deste jogo, cada um dos n participantes seleciona sua melhor estratégia, ou seja, aquela que lhe traz o maior benefício. Então, se cada jogador chegar à conclusão que ele não tem como melhorar sua estratégia dadas as estratégias escolhidas pelos seus n-1 adversários (estratégias dos adversários não podem ser alteradas), então as estratégias escolhidas pelos participantes deste jogo definem um "equilíbrio de Nash".
Definição matemática:
Deixe (S, f) ser um jogo com n participantes, onde Si é o conjunto de estratégias possíveis para o participante i, S=S1 X S2 … X Sn é o conjunto de estratégias que especificam todas as ações em um jogo (somente uma estratégia por participante) e f=(f1(x), …, fn(x)) é a função de payoff. Deixe x_{-i} ser o conjunto de estratégias de todos os jogadores com exceção do jogador i. Quando cada jogador i \in {1, …, n} seleciona sua estratégia xi resultando no conjunto de estratégias x = (x1, …, xn) então o jogador i obtém o payoff fi(x). Note que o payoff depende da estratégia selecionada pelo jogador i e também pelas estratégias escolhidas pelos seus adversários. Um conjunto de estratégias x* \in S é um equilíbrio de Nash caso nenhuma alteração unilateral da estratégia é rentável para este jogador, ou seja
\Para todo i,x_i\in S_i, x_i \neq x^*_{i} : f_i(x^*_{i}, x^*_{-i}) \geq f_i(x_{i},x^*_{-i}).
Barganha:
O Problema da Barganha ou também conhecido Problema da Negociação é uma teoria de John Forbes Nash Jr., vencedor do Prémio de Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel, publicada em 1950 na revista The Econometric Society.
Nash distingue dois tipos de jogos: os cooperativos e os não cooperativos. Os jogos cooperativos são aqueles em que os agentes comunicam entre si com vista a encontrarem uma solução. Os não cooperativos são aqueles em que os agentes não comunicam entre si de nenhuma forma. Cada um toma uma decisão sem conhecer a decisão do seu adversário. O jogo não cooperativo mais conhecido é o do dilema do prisioneiro. Através deste jogo, podemos facilmente entender o conceito de "equilíbrio de Nash".
O problema da barganha ou da negociação resume-se na seguinte ideia: existe fundamento para uma negociação quando pelo menos dois agentes têm a possibilidade de aumentar o seu estado de satisfação caso cheguem a um acordo entre eles. Por exemplo, suponha-se que existem 100 dólares para repartir entre duas pessoas, que não têm qualquer tipo de empatia entre si, sentido de justiça ou de equidade. Qualquer um dos agentes tem incentivo a solicitar o maior valor possível. Ambos poderão fazer propostas de divisão dos 100 dólares. No entanto, enquanto ambos os agentes não chegarem a um acordo, nenhum deles recebe nada.
Nash faz uma formulação matemática deste problema, que ignora quaisquer efeitos casuísticos do resultado da negociação. À partida poderíamos argumentar que qualquer solução que atribuísse a um agente mais do que zero euros e menos do que 100 era uma solução deste jogo, pois ambos ficariam numa melhor situação do que aquela em que se encontravam antes de chegar ao acordo. No entanto, Nash formula um conceito de solução diferente. O modelo de negociação de Nash assenta sob o pressuposto de um grau muito elevado de racionalidade dos dois agentes e na ideia que os agentes tentarão encontrar uma solução que satisfaça ambas as partes, de modo a que as negociações não continuem infinitamente.
De modo a encontrar uma única solução, Nash formula o seu modelo de negociação com base em quatro axiomas. Seja N = {1,2}, os agentes envolvidos na negociação, S ⊂ RN o conjunto de todos os pares possíveis de utilidade esperada, ξ = (ξ1, ξ2) ∈ S os níveis de utilidade obtidos por cada um dos agentes se estes não chegarem a um acordo. Nash define um problema de negociação como um conjunto qualquer (S, ξ) onde S é compacto (ou seja, pode ser limitado por um quadrado suficientemente grande à volta de S) e convexo (qualquer ponto entre uma linha reta que liga dois pontos do conjunto S é um ponto do conjunto S) e ∃ (U1, U2) ∈ S tal que U1 > ξ1 e U2 > ξ2 . B é definido como o conjunto de todos os problemas de negociação. Uma solução do jogo de negociação é uma função f: B → RN tal que f(S, ξ) ∈ S para cada (S, ξ).
Os axiomas nos quais Nash formaliza o problema da negociação são os seguintes:
1. Axioma da Utilidade Esperada (invariância sob transformações afins ): ∀ (S, ξ), ∀ (S’, ξ’), ai>0
S'={s' |s' i=ai.si+bi ∀ i∈ N} ⋀ ξ'i=ai.ξi+bi ∀i∈ N ⇒ fi(S’, ξ’)=ai fi (S,ξ)+bi, ∀i∈N
Este axioma reflete a independência das escalas com que os agentes medem os seus níveis de utilidade. Significa isto que, num jogo de negociação, os agentes não comparam níveis de utilidade igualando-as no sentido de obter um “acordo justo”, mas pelo contrário, a solução do jogo de negociação deve ser independente de qualquer escala usada.
2. Simetria: Seja (S, ξ) um conjunto simétrico: ξ1 = ξ2 e [(U1,U2) ∈ S se e só se (U2,U1) ∈ S]. Então, f1(S, ξ) = f2(S, ξ). Este axioma justifica a inclusão de todos os parâmetros tidos como relevantes para a negociação. Se invertermos os eixos nos quais representamos S, a solução deverá ser o par (U2,U1), ou seja, uma solução equivalente à solução original.
3. Independência de alternativas irrelevantes: se T ⊂ S e f(S, ξ) ∈ T, então f(T, ξ) = f(S,d). O axioma da independência de alternativas irrelevantes indica que a solução não deve ser afetada pela escolha de alternativas irrelevantes.
4. Pareto-Otimização: Considerando dois pontos x, y ∈ S, se y > x, então f(S, ξ) ≠ x. Na solução, nenhum dos agentes pode aumentar o seu nível de utilidade sem que o nível de utilidade do seu adversário diminua.
Com base nestes quatro axiomas, a única solução f para esta formulação do jogo de negociação é o par (U1,U2), que maximiza o produto W = (x1 - ξ1).(x2 – ξ2),ou seja, f(S, ξ) = arg.max(W)1
A solução de Nash diz que n divisão de $100 ficaria $50 e $50 para cada, desde que a utilidade seja tida como linear,matematicamente a solução da negociação é incontestavelmente correta, porém considera-se a total racionalidade das partes e informação completa e pleno conhecimento comum das preferências por parte dos jogadores. Barganhas com informações incompletas permanecem um desafio para os teóricos.
Ref. Teoria dos Jogos de Negociação-Manochio Laurie Amanda-[http://dcm.ffclrp.usp.br/man/upload/Manocchio_AL.pdf]
